Cos'è trasformata di laplace?

La Trasformata di Laplace è un potente strumento matematico utilizzato in ingegneria, fisica e matematica applicata per analizzare sistemi dinamici lineari e invarianti nel tempo (LTI). Converte una funzione del tempo, $f(t)$, in una funzione di una variabile complessa, $s$, nel dominio della frequenza complessa. Questo può semplificare notevolmente l'analisi di equazioni differenziali e altri problemi complessi.

Definizione:

Formalmente, la trasformata di Laplace di una funzione $f(t)$, definita per $t \ge 0$, è data da:

$F(s) = \mathcal{L}{f(t)} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) , dt$

dove:

• $F(s)$ è la trasformata di Laplace di $f(t)$.
• $s = \sigma + j\omega$ è una variabile complessa, con $\sigma$ parte reale e $\omega$ parte immaginaria (frequenza angolare).
• $f(t)$ è la funzione del tempo.
• $\mathcal{L}$ è l'operatore di trasformazione di Laplace.

Regione di Convergenza (ROC):

La trasformata di Laplace converge solo per alcuni valori di $s$. La Regione%20di%20Convergenza (ROC) è l'insieme di valori di $s$ per cui l'integrale converge. La ROC è fondamentale per determinare univocamente la funzione $f(t)$ dalla sua trasformata $F(s)$.

Trasformata di Laplace Inversa:

L'operazione inversa, che permette di ritornare dal dominio di Laplace al dominio del tempo, è chiamata Trasformata%20di%20Laplace%20Inversa e si definisce tramite l'integrale di Bromwich:

$f(t) = \mathcal{L}^{-1}{F(s)} = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} e^{st} F(s) , ds$

In pratica, l'inversione si effettua spesso utilizzando tabelle di trasformate di Laplace e tecniche di decomposizione in frazioni parziali.

Proprietà Chiave:

La trasformata di Laplace possiede numerose proprietà utili, tra cui:

• Linearità: $\mathcal{L}{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + b G(s)$
• Derivazione nel tempo: $\mathcal{L}{f'(t)} = sF(s) - f(0)$
• Integrazione nel tempo: $\mathcal{L}{\int_0^t f(\tau) d\tau} = \frac{F(s)}{s}$
• Traslazione nel tempo (ritardo): $\mathcal{L}{f(t-a)u(t-a)} = e^{-as} F(s)$ (dove $u(t)$ è la funzione gradino unitario)
• Traslazione in frequenza: $\mathcal{L}{e^{at}f(t)} = F(s-a)$
• Teorema del valore iniziale: $\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)$
• Teorema del valore finale: $\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)$ (a condizione che il limite esista)

Applicazioni:

La trasformata di Laplace è ampiamente utilizzata per:

• Risoluzione di equazioni differenziali lineari: Trasformando l'equazione differenziale nel dominio di Laplace, si ottiene un'equazione algebrica che è generalmente più facile da risolvere.
• Analisi di sistemi LTI: Permette di analizzare la stabilità, la risposta in frequenza e la risposta impulsiva dei sistemi. La funzione di trasferimento di un sistema LTI è definita come il rapporto tra la trasformata di Laplace dell'uscita e la trasformata di Laplace dell'ingresso.
• Progettazione di controllori: Facilita la progettazione di sistemi di controllo stabili e con prestazioni desiderate.
• Analisi di circuiti elettrici: Semplifica l'analisi di circuiti complessi, in particolare quelli con elementi reattivi (induttori e condensatori).

Funzioni Comuni e le loro Trasformate di Laplace:

• $f(t) = 1$: $F(s) = \frac{1}{s}$
• $f(t) = t$: $F(s) = \frac{1}{s^2}$
• $f(t) = e^{at}$: $F(s) = \frac{1}{s-a}$
• $f(t) = \sin(at)$: $F(s) = \frac{a}{s^2 + a^2}$
• $f(t) = \cos(at)$: $F(s) = \frac{s}{s^2 + a^2}$
• $f(t) = \delta(t)$ (funzione delta di Dirac): $F(s) = 1$
• $f(t) = u(t)$ (funzione gradino unitario): $F(s) = \frac{1}{s}$

La comprensione della Trasformata%20di%20Laplace e delle sue proprietà è essenziale per molti ingegneri e scienziati.